La palabra algoritmo proviene del nombre del matemático llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi (hay muchas variantes para el nombre al usar el alfabeto latin, tales como Al-Khorezmi, Al-Khwarizmi, Al-Khawarizmi, Al-Khawaritzmi o Al-Khowarizmi) que vivió entre los siglos VIII y IX.
Su trabajo consistió en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India. Sus libros eran de fácil comprensión, de ahí que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento, sino el de simplificar las matemáticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio público. Cabe destacar cómo señaló las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales árabes) y cómo explicó que, mediante una especificación clara y concisa de cómo calcular sistemáticamente, se podrían definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecánicos similares a un ábaco en vez de las manos. También estudió la manera de reducir el numero de operaciones necesarias que formaban el cálculo.
Por esta razón, aunque no haya sido él el inventor del primer algoritmo, merece que este concepto esté asociado a su nombre. Al-Khorezmi fue sin duda el primer pensador algorítmico.
Ya en el siglo XIX, se produjo el primer algoritmo escrito para un computador. La autora fue Ada Byron, en cuyos escritos se detallaban la máquina analítica en 1842. Por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque, desde Charles Babbage, nadie completó su máquina, por lo que el algoritmo nunca se implementó.
La idea de resolver un problema o de disponer de un algoritmo es bastante antigua, tal es así, que existía la errada creencia que no había problema que no se pudiera resolver y en base a ello, el matemático David Hilbert quiso descubrir un algoritmo para los algoritmos. Hoy en dia gracias a los trabajos de Kurt Gödel, Alonzo Church (calculo lamba), Alan Turing (maquina de turing), se sabe que dentro del universo de problemas, una pequeña parte es computable, luego que el objetivo que perseguia David Hilbert no era computable, es lo que se ha denominado como la computabilidad de los algoritmos.
HISTORIA DE LA GEOMETRIA
ANTES DE GRECIA
Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría.
Las primeras civilizaciones mediterraneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de caracter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de ""receta""- para calcular areas y longitudes. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenían una alta formación matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hipótesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilización -así como los de las culturas mesopotámicas- tuviera sobre Geometría pasó integramente a la cultura griega a traves de Tales, los pitagóricos, y esencialmente de Euclides.
GEOMETRIA GRIEGA
ANTES DE EUCLIDES
En efecto, Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar.
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada (los pitagóricos) tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de caracter más aritmético que geométrico.
Surge entonces un pequeño problema a nivel lógico, que consiste en lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraido (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos de partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipotesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS
Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Sus sitema se sintetiza en su obra cumbre, ""Los Elementos"", modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en 13 volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.
DESPUES DE EUCLIDES
Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de la figura de Arquímedes, que estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias.
LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD
La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos intrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes
La duplicación en el cubo
Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas. Una embajada de la ciudad fue al Oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa, tras consultar al Oráculo, dijo que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico en el que las medidas de los lados eran el doble de las medidas del altar de Delos, pero la peste no cesó. Consultado de nuevo el Oráculo, la pitonisa advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema persistió durante siglos.
La trisección del ángulo
Este problema consiste en conseguir dividir un ángulo dado cualquiera en tres ángulos iguales, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Nadie supo cómo hacerlo.
La cuadratura del círculo
Se trata de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya area mide exactamente lo mismo que el area del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones políticas. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.
EDAD MEDIA
Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos - Álgebra y Trigonometría - de la mano de indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de caracter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar ""Los Elementos"", y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación sobre la disputa del V postulado. Si bien no se llegó a dilucidar en este periodo si era o no idependiente de los otros cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este postulado.
EDAD MODERNA
Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos intrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Durero, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que esta implica: la Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales no aparecerán hasta el siglo XIX de la mano de Gaspard Monge en primer lugar y sobretodo de Poncelet.
LA GEOMETRIA CARTESIANA
Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se de también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como ""Geometría Analítica"", apéndice al ""Discurso del Método"", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.
Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. El Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.
LOS NUEVOS METODOS
Agotamiento del método sintético
La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raices de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclideas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.
Los límites del método algebraico
El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.
El Cálculo Infinitesimal
El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z).
Ya Isaak Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el area que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable, o de superficie y de función de dos variables (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables o de superficie y los ceros de una función de tres variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia.
En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial, el Teorema de la Función Implícita.
EDAD CONTEMPORANEA
GAUSS
Gauss devuelve el caracter geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial.
Pero no es son las únicas contribuciones de éste genio al campo de la Geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filología o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación. En su primera demostración (de las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del Análisis de Variable Compleja, dando por primera vez la descripción geométrica de los números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho más tarde). Aunque no es propiamente obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seriamente, y sobretodo le da una interpretación geométrica que marcará el desarrollo de esta rama.
Pero la principal contribución de Gauss la la Geometría es la creación de la Geometría Diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el Análisis Matemático y la Geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente. Partiendo de la base de que la Geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.
Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclideas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mantalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclidea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.
Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría no euclidea, y por otro fue el creador de la Geometría Diferencial y precursor de la Variable Compleja.
Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la Geometría: la orientación.
FIN DE LOS GRANDES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD
La controversia sobre el V postulado
Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultaneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado. ¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geometrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:
1º El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.
2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido.
Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias.
Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando métodos analíticos o sintéticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sintética como analítica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad.
La trisección del ángulo y la duplicación del cubo
Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos problemas. Galois muere a los 21 años de edad dejando un ""testamento"" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en (su corta) vida. Concluyó que ninguna ecuación de grado 5 o mayor puede ser resuelta por radicales (es decir, mediante una fórmula). Su manera de abordar el problema abre una nueva vía dentro de la Matemática.
Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación) no da sólo esos frutos. También demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.
La cuadratura del círculo
En 1862, Lindemann demuestra que el número p es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un número que pueda construirse con regla y compás, y demuestra que no es posible construir con sólo estos instrumentos un cuadrado de area igual a la de un círculo dado.
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LA ECUACIÓN
Definiciones:
Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z x u v. Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas.
Ecuación: igualdad que solo se cumple para ciertos valores de la variable o variables desconocidas (incógnitas) que entran en ella. Pueden ser de una o de varias incógnitas; estas pueden tener un número infinito (- determinado) o infinito (-indeterminado), de valores numéricos (raíces)
Ecuación Algebraica: Es la que se representa en forma polinómica, su grado viene determinado por el exponente que afecta a la incógnita en el polinomio. Aquella que expresa la relación entre una o varias variables sus funciones o sus derivados.
Ecuación Química; Es la representación de una relación química
Ecuación Astronómica diferencia que hay entre el lugar o movimiento medio y el verdadero o aparente de un astro.
Ecuación. Igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).
En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominará inecuación.
Clasificación De Las Ecuaciones.
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
a) Por el número de incógnitas. Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar cómo puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
b) Por el grado de la incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.
c) Por el número de términos:c1) Ecuaciones binómicos: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicos. Llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar poli nómicas.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D' Alembert fue el primer matemático que diò una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que diò una demostración rigurosa.
a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b
Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.
b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.
c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n = -c/a)
El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.
El método es el siguiente:
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citáis el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).
d) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita
El método más frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado "disfrazada". Lo veréis con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, hacéis el cambio de variable, resolvéis la ecuación de segundo grado y después despejáis la x (calculando la raíz cuadrada del valor que hemos obtenido para t).
Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprenderéis a vuestro profesor resolviendo la ecuación por este método:
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.
Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función, o cuando se considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre de hallar números concretos.
Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.
Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas.
La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes.
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales.
Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.
La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales.
En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto.
En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x + ax =b
x + ax + bx = 0
donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid, responde al problema siguiente:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24. La solución la obtenía por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.
Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daría: 7 + 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 · 7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.
Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.
Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:
"Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muertedesgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad. "
Historia de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28 y + x = 10
Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . 3x/3 = 18/3 x = 6
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.
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