FORMAS EN QUE PUEDEN PRESENTARSE LAS INTEGRALES ITERADAS
Área por Doble Integración
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
Integrales dobles como volúmenes
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk)
"Ak en la suma Sn = 
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como
Coordenadas Polares
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
Por ejemplo:
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos83/integrales-multiples/integrales-multiples.shtml#ixzz3rhlLhgHk
Historia De La Probabilidad from gueste76de1
Las nuevas matemáticas de los siglos XVIII y XIX
En el siglo XVII se dio históricamente un salto cualitativo en las matemáticas, que abrió un derrotero extraordinario para la producción matemática. Muchos de estos trabajos estuvieron estrechamente ligados a la física. El cálculo en Newton es un ejemplo. Pero hay más. Muchos métodos y resultados fueron empujados directamente por la astronomía y la mecánica.
Las matemáticas del siglo XVIII a diferencia de las del siglo XVII fueron esencialmente cuantitativas, conectadas más estrechamente a la evolución de las ciencias llamadas naturales.
Lo que llama Morris Kline el "Siglo Heroico'' configuraba, sin embargo, una situación que podríamos caracterizar como contradictoria. Se tenía una gran producción matemática, un gran éxito en la capacidad de predicción en la ciencia de los resultados matemáticos, y al mismo tiempo "un marasmo lógico en los fundamentos.'' [Kline, M.: Mathematics. The Loss of Certainty, p. 153] El centro del análisis era el cálculo y a pesar de la enorme oscuridad lógica, a pesar del uso "libertino'' de los números, éste experimentó un enorme desarrollo. Los números irracionales eran admitidos a principios del XIX, aunque no los negativos y los complejos. Berkeley aprovechaba el marasmo para atacar a los infinitesimales de Leibniz y a la matemática en general.
Durante el siglo XVIII, las matemáticas que se hicieron estuvieron basadas en la intuición y el sentido físico de éstas y no tanto en la lógica. La confianza de su trabajo, debe enfatizarse, no residía ni en la consistencia ni en las reglas axiomáticas, sino en la aplicación de sus resultados. No es extraña entonces la visión kantiana sobre la naturaleza de la matemática. ¿Cuál es esa visión?
Los problemas en los fundamentos lógicos, si bien habían sido tratados, no ocuparon un lugar preponderante entre los matemáticos, hasta que (a principios de siglo XIX), se evidenciaron elementos de la matemática que rompían supuestamente el esquema de la coincidencia matemática-naturaleza. El surgimiento de las geometrías no euclidianas y la existencia de números que no seguían lo esperable en ellos (los cuaterniones de Hamilton), volcaron las mentes sobre los fundamentos lógicos. Si se miraba hacia el análisis no había fundamento ni en el álgebra ni en la aritmética usadas, y en la geometría había problemas. Los cuaterniones no conmutativos y las geometrías no euclídeas eran, lo que Kline caracteriza, un auténtico desastre.
Este "primer desastre'' va a tener consecuencias extraordinarias para la reflexión sobre la matemática y para la evolución de la filosofía de las matemáticas.
Durante el siglo XVIII y principios del XIX, la visión kantiana sobre la matemática se podía apreciar en coherencia con la realidad de lo que es la práctica matemática. Cuando emergen las geometrías no euclidianas y los cuaterniones las cosas no pueden quedar en el mismo sitio. El sentido de la intuición kantiana entra en problemas, sobre todo cuando había asumido como dada en la "intuición'' la geometría euclídea.
Los recientes resultados matemáticos señalan la importancia de la estructura y la validez lógica frente a una intuición entendida en conexión con lo sensible. La correspondencia de la matemática con la realidad no había sido entendida en cuanto estructuras susceptibles de tener un modelo capaz de coincidir con lo real, sin relación con la experiencia más que en aspectos planteados en ciertos momentos. Había sido entendida a partir de la relación sensible individual, limitada por las fronteras más directas de las condiciones de los hombres. Si se quiere, se puede decir que la visión que se tenía de la matemática era la que permitía una conexión casi sensorial con el espacio inmediato y con la realidad material.
Desde el punto de vista teórico, las geometrías no euclidianas no fueron el factor que destruyó la visión kantiana, aunque tal vez así se planteó. El surgimiento de las geometrías no euclidianas y los cuaterniones pusieron de manifiesto la existencia de un nuevo carácter en las matemáticas, que no pudo ser aprehendido por Kant; no porque haya asumido una particular geometría, sino porque las nociones de intuición y construcción que estableció no podían dar cuenta de ese carácter.
La emersión de "lo nuevo'' en las matemáticas del siglo XIX afirmaba una separación entre las matemáticas y la realidad. Mostró un camino en el que la manipulación formal y la consistencia lógica ocupan un papel muy importante. Para Kline lo que sucedió era algo que se acumulaba desde el XVIII:
"... un oculto cambio en la naturaleza de la matemática ha sido hecho inconscientemente por los maestros. Hasta alrededor de 1500, los conceptos de las matemáticas eran idealizaciones inmediatas o abstracciones de la experiencia (...). Cuando, además, los números complejos, un álgebra extensiva que emplea coeficientes literales, y en las nociones de derivada e integral entraron en las matemáticas, el asunto empezó a ser dominado por conceptos derivados de los lugares recónditos de las mentes humanas'' [Kline, M.: Mathematics. The Loss of Certainty,p. 167].
Para Kline: esta nueva matemática, que crea conceptos más que abstrae, está presente desde siglos anteriores. Sin embargo, lo nuevo no fue comprendido como tal y, entonces, no se entendió la necesidad de un fundamento aparte al de las verdades evidentes.
En realidad, la matemática no es nunca mera abstracción o generalización inductiva; existe un contenido operativo y estructurador en la esencia de la práctica matemática. Los irracionales y negativos en los griegos por ejemplo no eran simples productos de la abstracción; no se trata, entonces, de un cambio de un tipo de abstracción a otro.
El carácter de la nueva matemática del XIX va a estar determinado por el devenir propio de las matemáticas, así como por las condiciones generales de la evolución científica de la época; lo esencial va a ser lo primero.
La producción matemática hasta el siglo XVIII concentró resultados matemáticos extraordinarios que (en la segunda mitad y en la primera del XIX) encuentran un punto de acumulación. Esto engendró una autoconciencia diferente de su práctica que generó una orientación también diferente en ella. La matemática (fusión histórica y social de esfuerzos individuales) entró en el siglo XIX en una nueva etapa evolutiva en la que la conciencia de ella fue uno de sus factores; aunque esta conciencia no correspondiese (en mi opinión) a la esencia de su naturaleza última. Las geometrías no euclidianas y los cuaterniones fueron resultados teóricos que sacudieron el mundo matemático.
Las nuevas condiciones en las matemáticas (y la reflexión sobre éstas) generaron, como lo analizamos antes en detalle, un intento extendido por solventar las debilidades de las matemáticas del XVII y el XVIII. Se sucedieron importantes intentos en búsqueda de la consistencia de las nuevas geometrías y en la rigorización del análisis y el álgebra (Bolzano, Abel,Cauchy, etc.). Recordemos que Cauchy trató de fundamentar el cálculo en el número y en el concepto de límite. El mejor intento en esta rigorización fue hecho por Weierstrass. Este dio una derivación de las propiedades de los irracionales a partir de los racionales, y Dedekind se colocó en la misma dirección.
En la búsqueda del rigor se buscó la conexión de los infinitesimales, las "operaciones'' de derivación e integración y, en general, el continuo real, con la aritmética.
Se puede señalar a Bolzano como iniciador de este proceso, aunque desde el siglo anterior se buscaban formas de rigorización de los resultados obtenidos.
Para Cauchy era necesario buscar definiciones claras y precisas y el establecimiento de las fronteras de los conceptos y las fórmulas. Intentos en la aproximación del análisis y la aritmética fueron realizados por Martin Ohm (1822), y después Grassmann, Hankel y Weierstrass. Pero fue este último el que ofreció una definición rigurosa de los números irracionales a partir de los racionales. Su trabajo implicaba una "... liberación del análisis del tipo de prueba geométrica intuitiva tan prevaleciente en ese tiempo.'' [Wilder, R.: Introduction to the Foundations of Mathematics, p. 190]. La noción del número real estaba conectada, entonces, a las magnitudes de la geometría.
Otros autores como Dedekind (en sus trabajos de 1872 y 1888) y Cantor, tomando como punto de partida la validez de las propiedades de los racionales, los asociaron a los irracionales, de una manera específica. Nos señala Bell en 1940:
"La definición de Dedekind de los números irracionales como cortaduras en clases infinitas de racionales, las sucesiones de números racionales de Cantor para definir los números irracionales, y los números irracionales de Weierstrass considerados como clases de racionales, todas ellas en definitiva referían el continuo de los números reales a los números naturales. Las 'magnitudes' de Eudoxo quedaban reemplazadas por construcciones hipotéticas realizadas con los números 1,2,3... De este modo, la aritmetización del análisis era una vuelta al programa dePitágoras.'' [Bell, E. T.: Historia de las matemáticas, p. 291]
La aritmetización del análisis no se puede considerar un proceso mecánico y simple de rigorización de resultados matemáticos, sino que debe verse integrada a una nueva "autoconciencia'' en la evolución de la matemática. La aritmetización va dirigida en el siglo XIX al abandono de la intuición geométrica que había predominado en el cálculo del siglo XVIII; es la búsqueda por aprehender una nueva realidad en la que la validez lógica aparece como central.
Los trabajos de Cantor en lo que se refiere a los fundamentos del análisis continúan la obra de Weierstrass. En las definiciones de los reales el problema residía en la forma de traducir el "paso al límite'' a los enteros.
Para Dedekind y también para Weierstrass está presente esta incidencia sobre lo que es una referencia al continuo y, entonces, al infinito. La noción de continuo real implica un proceso matemático (mental si se quiere) cualitativamente diferente al que se manifiesta en la aritmética. Esto tiene implicaciones epistemológicas.
Con la aritmetización del análisis no se trataba simplemente de desgeometrizar el cálculo y de apuntar hacia mejores condiciones lógicas en sus fundamentos; se trataba de una reducción de diferentes nociones conceptuales (referidas a objetos diferentes) a las nociones aritméticas. Este proceso de cualidades diferentes sólo podía ser realizado a partir de una nueva abstracción y, sugiero, a partir de la introducción implícita o explícita de supuestos teóricos sobre la existencia y la naturaleza de las entidades matemáticas.
La aritmetización de las matemáticas es la manifestación, por otra parte, de una intención reduccionista de sus distintos componentes. Es la búsqueda de una unidad teórica en la diversidad, cuyo planteamiento exige una readecuación en la conciencia de la naturaleza de la matemática e incluso del conocimiento.
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